Математичка. задачи на тела вращения

Содержание

Слайд 1

Решение задач по теме «Цилиндр»
Урок геометрии, 11 класс
Чудаева Елена Владимировна, Республика Мордовия, г. Инсар
МБОУ «Инсарская средняя общеобразовательная школа №1»
Слайд 2

L

m
Общая цилиндрическая поверхность,
её направляющая L и образующая m
Слайд 3

Общее определение цилиндрического тела

m

1
Слайд 4

Наклонный круговой цилиндр
Н

круг

Слайд 5

О
О1
Прямой круговой цилиндр

основание
образующая
ось цилиндра

боковая поверхность
Слайд 6

О1

О
О1

R
R

О
H
Слайд 7

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси

О
О1
Сечение цилиндра плоскостью, перпенди-кулярной его оси

О2

О
О1

А
А1
Слайд 8

Цилиндрическая гастрономия
Слайд 9
Слайд 10

Цилиндрическая архитектура
Слайд 11

Найдите площадь поверхности (внешней и внутренней) шляпы, размеры которой (в см) указаны на рисунке.
1) Если дно шляпы опустить на плоскость её полей, то получим круг радиуса
R= r1+10 = 20 cм.
2) Площадь этого круга
3) Найдем площадь боковой поверхности цилиндрической части
4) Найдем площадь шляпы
Ответ: 1600 (см2).

r1=10

10

10
Решение.
Слайд 12

№523
Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 20 см. Найдите: а) высоту цилиндра; б) So цилиндра

Решение.
1. Проведем диагональ АС сечения АВСD.
A
B
C
D

2. ADC – равнобедренный, прямоугольный, АD=DC, h = 2r,
 CAD=ACD=45, тогда

45

45
20

3. Найдем радиус основания
4. Найдем площадь основания
Ответ:
Слайд 13

№525
Площадь осевого сечения цилиндра равна 10 м2, а площадь основания – 5 м2. Найдите высоту цилиндра.
Решение.
1. Площадь основания – круг,
тогда
2. Площадь сечения – прямоугольник,
тогда
Ответ:

A
B
C
D

r
Слайд 14

№527
Концы отрезка АВ лежат на разных основаниях цилиндра. Радиус цилиндра равен r, его высота – h, расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно d. Найдите: a) высоту, если r = 10, d = 8, AB = 13.

r
a
Решение.
1. Построим отрезок АВ.
2. Проведем радиус АО.
3. Построим отрезок d.
?

А

В

r

d

К
4. Отрезок ОК – искомое расстояние.
5. Из прямоугольного АОК находим:
С
значит АС = 12.
6. Из прямоугольного АВС находим:
Итак, h= 5.
Ответ: 5.
Слайд 15

r
a

r

d

К
С
Построим отрезокd
(расстояние между скрещивающимися прямыми АВ и ОО1).
1) Построим образующие, проходящие через концы отрезка АВ и плоскость, проходящую через них.
2) Построим радиусы АО и СО.
3) АОС – равнобедренный, проведем высоту ОК, она и будет искомым расстоянием, т.к. прямая ОК перпендикулярна к двум пересекающимся прямым АС и ВС плоскости АВС.

А

В
Слайд 16

A
А1
C1
В1

№532
Через образующую АА1 цилиндра проведены две секущие плоскости, одна из которых проходит через ось цилиндра. Найдите отношение площадей сечений цилиндра этими плоскостями, если угол между ними равен .
В

C



Решение.
1) Сделаем чертеж, построим плоскости АА1В1В и АА1С1С.
3) Построим плоскость ВВ1С1С.
4) Заметим, что АВ диаметр основания цилиндра, значит АСВ=90, тогда
2) Составим отношение площадей сечений
5) Итак,
Ответ: .
Слайд 17

Плоскость , параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу AmD с градусной мерой . Радиус цилиндра равен a, высота равна h, расстояние между осью цилиндра ОО1 и плоскостью  равно d.
1) Докажите, что сечение цилиндра плоскостью  есть прямоугольник.
2) Найдите AD, если a= 8см,  = 120.
1) Составьте план вычисления площади сечения по данным , h, d.
2) Найдите AD, если a=10 см,  = 60.
Самостоятельная работа

Ответ:
10
Ответ:
Слайд 18

Повторить стр.130-132, гл. 1, п.59-60,
№530, № 537.
Что нового вы узнали на уроке?

Домашнее задание
Рефлексия
Можете ли вы объяснить решение данных задач однокласснику, пропустившему урок сегодня?
Чему вы научились?
Какое у вас настроение в конце урока?
Спасибо, за урок!
Слайд 19

Использованные источники
1. Изучение геометрии в 10-11 классах: кн. Для учителя/С.М. Саакян, В.Ф. Бутузов. – 4-е издание, М.: Просвещение, 2010.
2. Рабочая тетрадь к учебнику «Геометрия 10-11 класс» Л.С. Атанасян, М.: Просвещение, 2010
3. СD «Виртуальная школа Кирилла и Мефодия: Геометрия-11 класс»
4. http://www.220store.ru/images/produce/6518.jpeg (термос)
5. http://www.kupi-lastik.ru/goods_images/big/930050.jpg (банка кофе)
6. http://www.badgood.info/photos/notes/1/8/7810/7810_1.jpg , (банка сгущенки)
7. http://nikolife.info/images/fullnntn4nq10l80r0rfc.jpg (нарезка)
8. http://s44.radikal.ru/i105/1002/75/3471657e4528.jpg (консервы)
9. http://i.smiles2k.net/big_smiles/big_smiles_163.gif (смайлик)
10. Пизанская башня: http://www.mediterraneanunion.ru/pic.php?f=/img/images002/image_ySgw9TC1G4o5pR4tRcLO3Mjr.jpg
11. http://gidtravel.com/images/3_1271271516.jpg (башня)
12. картинка для создания шаблона: http://img12.nnm.ru/6/1/f/3/1/61f313c211ba14cd67cbba7a77f43a98_full.jpg .

Посмотреть все слайды

Цилиндр

Цилиндр – тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами $М$ и $М_1$. Цилиндрическая поверхность называется боковой поверхностью цилиндра, а круги – основаниями цилиндра.

Образующие цилиндрической поверхности называются образующими цилиндра, на рисунке образующая L.

Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны основаниям.

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, у которого одна сторона равна диаметру основания, а вторая – высоте цилиндра.

Основные понятия и свойства цилиндра:

Основания цилиндра равны и лежат в параллельных плоскостях.
Все образующие цилиндра параллельны и равны.
Радиусом цилиндра называется радиус его основания ($R$).
Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями оснований (в прямом цилиндре высота равна образующей).
Осью цилиндра называется отрезок, соединяющий центры оснований ($ОО_1$).
Если радиус или диаметр цилиндра увеличить в n раз, то объем цилиндра увеличится в $n^2$ раз.
Если высоту цилиндра увеличить в $m$ раз, то объем цилиндра увеличится в то же количество раз.
Если призму вписать в цилиндр, то ее основаниями будут являться равные многоугольники, вписанные в основание цилиндра, а боковые ребра — образующими цилиндра.
Если цилиндр вписан в призму, то ее основания — равные многоугольники, описанные около оснований цилиндра. Плоскости граней призмы касаются боковой поверхности цилиндра.

Пример:

Сосуд в форме цилиндра заполнен водой до отметки $40$ см. Найдите, на какой высоте будет находиться уровень воды, если её перелить в другой сосуд в форме цилиндра, радиус основания которого в $2$ раза больше радиуса основания первого цилиндра. Ответ дайте в сантиметрах.

Решение:

Так как из сосудов перелили одинаковый объем жидкости, следовательно, при равных объемах отличаются радиусы и высоты уровней жидкостей.

$V_1=V_2$;

$R_2=2R_1$, так как у второго цилиндра радиус в два раза больше радиуса первого.

$h_1=40;h_2-?$

Распишем объемы занимаемой жидкости в обоих сосудах и приравняем формулы друг к другу.

$V_1=πR_1^2·h_1=πR_1^2·40$;

$V_2=πR_2^2·h_2=π(2R_1)^2·h_2=4πR_1^2·h_2$.

$πR_1^2·40=4πR_1^2·h_2$

Получили уравнение, которое можно разделить на $πR_1^2$

$40=4 h_2$

Чтобы найти $h_2$ надо сорок разделить на четыре

$h_2=10$

Ответ: $10$

Площадь поверхности и объем цилиндра

Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту.

$S_{бок.пов.}=2πR·h$

Площадь поверхности цилиндра равна сумме двух площадей оснований и площади боковой поверхности.

$S_{полн.пов.}=2πR^2+2πR·h=2πR(R+h)$

Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

$V= πR^2· h$

Объем части цилиндра, в основании которого лежит сектор: $V={πR^2·n°·h}/{360}$, где $n°$ — это градусная мера центрального угла, отсекающего заданный сектор.

Составной цилиндр:

Чтобы найти объем составного цилиндра надо:

Разделить составной цилиндр на несколько цилиндров или частей цилиндра.
Найти объем каждого цилиндра.
Сложить объемы.

Поурочные разработки по Геометрии 11 класс

Цилиндр. Решение задач — урок 3 — КОНТРОЛЬНЫЕ И САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ

Самостоятельная работа

I уровень

Вариант I

1. Радиус цилиндра равен 10 см. Сечение, параллельное оси цилиндра и удаленное от нее на 8 см, имеет форму квадрата. Найти площадь сечения.

2. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 8√2 дм и образует с плоскостью основания цилиндра угол 45°. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Вариант II

1. Высота цилиндра равна 16 см. На расстоянии 6 см от оси цилиндра проведено сечение, параллельное оси цилиндра и имеющее форму квадрата. Найдите радиус цилиндра.

2. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 8 дм и составляет с образующей угол 60°. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

II уровень

Вариант I

1. Прямоугольник вращается вокруг одной из своих сторон, равной 5 см. Площадь боковой поверхности цилиндра, полученного при вращении, равна 100π см2. Найдите площадь прямоугольника.

2. Хорда нижнего основания цилиндра отсекает от окружности основания дугу в 120°. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания с серединой данной хорды, равен 4√2 см и образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.

Вариант II

1. Прямоугольник, одна из сторон которого равна 5 см, вращается вокруг неизвестной стороны. Найдите площадь прямоугольника, если площадь боковой поверхности цилиндра, полученного при вращении, равна 60π см2.

2. Хорда нижнего основания цилиндра удалена от центра нижнего основания на 2√3 см и отсекает от окружности основания дугу в 60°. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания с одним из концов данной хорды, образует с осью цилиндра угол 45°. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.

III уровень

Вариант I

1. Параллельно оси цилиндра, на расстоянии d от нее, проведена плоскость, отсекающая от окружности основания дугу α. Диагональ полученного сечения составляет с образующей цилиндра угол β. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

2. Площадь осевого сечения цилиндра равна 18√3 см2. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания цилиндра с точкой окружности нижнего основания образует с осью цилиндра угол 30°. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Вариант II

1. Параллельно оси цилиндра проведена плоскость, отсекающая от окружности основания дугу α. Диагональ полученного сечения равна l и образует с плоскостью основания цилиндра угол р. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

2. Периметр осевого сечения цилиндра равен 36 см. Диагональ осевого сечения составляет с образующей цилиндра угол 43°. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

ПредыдущаяСледующая

Что такое файл cookie и другие похожие технологии

Файл cookie представляет собой небольшой текстовый файл, сохраняемый на вашем компьютере, смартфоне или другом устройстве, которое Вы используете для посещения интернет-сайтов.

Некоторые посещаемые Вами страницы могут также собирать информацию, используя пиксельные тэги и веб-маяки, представляющие собой электронные изображения, называемые одно-пиксельными (1×1) или пустыми GIF-изображениями.

Файлы cookie могут размещаться на вашем устройстве нами («собственные» файлы cookie) или другими операторами (файлы cookie «третьих лиц»).

Мы используем два вида файлов cookie на сайте: «cookie сессии» и «постоянные cookie». Cookie сессии — это временные файлы, которые остаются на устройстве пока вы не покинете сайт. Постоянные cookie остаются на устройстве в течение длительного времени или пока вы вручную не удалите их (как долго cookie останется на вашем устройстве будет зависеть от продолжительности или «времени жизни» конкретного файла и настройки вашего браузера).

Поурочные разработки по Геометрии 11 класс

Цилиндр. Решение задач — урок 3 — КОНТРОЛЬНЫЕ И САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ

Самостоятельная работа

I уровень

Вариант I

Вариант II

II уровень

Вариант I

Вариант II

III уровень

Вариант I

Вариант II

ПредыдущаяСледующая

Сечения цилиндра

Рис. 4. Цилиндрическая поверхность и её образующие

Совокупность параллельных прямых, соединяющих точки на окружностях, называется цилиндрической поверхностью, а сами прямые – образующими цилиндрической поверхности (см. рис.4). И теперь мы готовы дать главное определение урока.

Рис. 5. Круговой цилиндр

Круговым цилиндром называется тело в пространстве, ограниченное двумя кругами и цилиндрической поверхностью (см. рис. 5).

Сразу оговоримся, что это понятие можно обобщить, просто цилиндр – это когда основания не круги. Но мы остановимся только на круговых, их и будем иметь в виду в дальнейшем.

Рис. 6. Основания и радиусы

Круги – основания цилиндра. Радиус каждого из оснований (они равны) – радиус цилиндра (см. рис. 6).

Рис. 7. Образующие цилиндра

Отрезки образующих, заключенные между основаниями, – образующие цилиндра (см. рис. 7).

Рис. 8. Эллиптический цилиндр

Само слово цилиндр происходит от греческого «килиндрос» – валик, каток. Напомним, цилиндр, который мы рассматриваем, еще называют круговым, так как в основаниях лежат круги. Если рассмотреть другую фигуру (например, эллипс), то получится эллиптический цилиндр (см. рис. 8).

Рис. 9. Прямой цилиндр

Если образующие перпендикулярны основаниям цилиндра, такой цилиндр называется прямым (см. рис. 9).

В курсе школьной геометрии обычно рассматриваются именно прямые круговые цилиндры, причем по умолчанию любой цилиндр считается прямым круговым. Поговорим о таких цилиндрах.

Рис. 10. Ось цилиндра

Отрезок, соединяющий центры оснований такого цилиндра, – ось цилиндра (см. рис. 10).

Рис. 11. Вращение прямоугольника вокруг оси

Вращая прямоугольник вокруг этой оси, можно получить наш цилиндр (см. рис. 11).

Рис. 12. Высота

Введем следующее определение. Высотой цилиндра назовем отрезок, соединяющий точки его оснований и перпендикулярный основаниям. Высотой прямого кругового цилиндра является ось (или образующая) – все равно: они в прямом круговом цилиндре равны (см. рис. 12).

Сечения цилиндра

Рис. 13. Перпендикулярное сечение цилиндра

Далее рассмотрим перпендикулярное сечение такого цилиндра (то есть сечение, перпендикулярное оси). Несложно понять, что, где бы мы его ни провели, в сечении будет такой же круг, что и в любом из оснований (см. рис. 13).

Рис. 14. Осевое сечение

Можно также рассмотреть сечение, проходящее через ось цилиндра. В этом случае оно представляет собой прямоугольник, одна сторона которого равна образующей (или оси), а другая является диаметром основания. Такое сечение называют осевым. Именно вращая такое сечение вокруг оси, мы и получаем наш цилиндр (см. рис. 14).

Рис. 15. Неперпендикулярное сечение

Наконец, можно говорить и о неперпендикулярном сечении: ведь ту же палку колбасы можно нарезать не только перпендикулярно, но и под углом. В этом случае сечение получится в форме эллипса, но об этих фигурах мы пока подробно говорить не будем (см. рис. 15).

Контрольная работа № 3«Тела вращения»

Содержание (быстрый переход):

Цель: проверить знания, умения и навыки учащихся по теме.Тип урока: урок контроля, оценки и коррекции знаний.

ХОД УРОКА

2. Контрольная работа

I уровень сложности

Вариант 1

Радиус основания цилиндра равен 5 см, а высота цилиндра равна 6 см. Найдите площадь сечения, проведенного параллельно оси цилиндра на расстоянии 4 см от нее.
Радиус шара равен 17 см. Найдите площадь сечения шара, удаленного от его центра на 15 см.
Радиус основания конуса равен 3 м, а высота 4 м. Найти образующую и площадь осевого сечения.

Вариант 2

Высота цилиндра 8 дм, радиус основания 5 дм. Цилиндр пересечен плоскостью параллельно оси так, что в сечении получился квадрат. Найдите расстояние от этого сечения до оси цилиндра.
Радиус сферы равен 15 см. Найдите длину окружности сечения, удаленного от центра сферы на 12 см.
Образующая конуса l наклонена к плоскости основания под углом в 30°. Найти высоту конуса и площадь осевого сечения.

II уровень сложности

Вариант 1

Осевое сечение цилиндра — квадрат, диагональ которого 4 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
Радиус основания конуса равен 6 см, а образующая наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найдите площадь сечения, проходящего через две образующие, угол между которыми равен 45° и площадь боковой поверхности конуса.
Диаметр шара равен d. Через конец диаметра проведена плоскость под углом 45° к нему. Найдите площадь сечения шара этой плоскостью.

Вариант 2

Осевое сечение цилиндра — квадрат, площадь основания цилиндра равна 16π см2. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
Высота конуса равна 6 см, угол при вершине осевого сечения равен 90°. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
Площадь сечения шара плоскостью, проведенной через конец диаметра под углом 30° к нему, равна 75π см2. Найдите диаметр шара.

III уровень сложности

Вариант 1

Длина линии пересечения сферы и плоскости, проходящей через конец диаметра под углом 60° к нему, равна 5π см2. Найдите диаметр сферы.
Через вершину конуса проведена плоскость, пересекающая основание по хорде, длина которой равна 5 см, и стягивающей дугу 90°. Плоскость сечения составляет с плоскостью основания угол 60°. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
Плоскость, проходящая через центр нижнего основания цилиндра под углом α к основанию, пересекает верхнее основание по хорде, равной b и стягивающей дугу β. Найдите высоту цилиндра.

Вариант 2

Диаметр шара равен d. Через конец диаметра проведена плоскость под углом 30° к нему. Найдите длину линии пересечения сферы и плоскости.
В цилиндре проведена плоскость, параллельная оси и отсекающая от окружности основания дугу в 120°. Диагональ сечения равна 20 см и удалена от оси на 3 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
В конусе проведено сечение плоскостью, проходящей через вершину конуса. Найдите его площадь, если радиус конуса r, угол между сечением и основанием 60°, угол между образующей и основанием 45°.

3. Рефлексия учебной деятельности (ОТВЕТЫ)

В конце урока учитель раздает на каждую парту краткую запись решения задач контрольной работы.Домашнее задание: решить задачи, с которыми ученик не справился.

Ответы на задания III уровня сложности

Вы смотрели: Геометрия 11 класс Контрольная № 3. Поурочное планирование по геометрии для 11 класса. УМК Атанасян (Просвещение). Урок 29. Контрольная работа по геометрии «Тела вращения» + ОТВЕТЫ.

Смотреть Список всех контрольных по геометрии в 11 классе по УМК Атанасян.

Cookie файлы бывают различных типов:

Необходимые. Эти файлы нужны для обеспечения правильной работы сайта, использования его функций. Отключение использования таких файлов приведет к падению производительности сайта, невозможности использовать его компоненты и сервисы.

Файлы cookie, относящиеся к производительности, эффективности и аналитике. Данные файлы позволяют анализировать взаимодействие посетителей с сайтом, оптимизировать содержание сайта, измерять эффективность рекламных кампаний, предоставляя информацию о количестве посетителей сайта, времени его использования, возникающих ошибках.

Рекламные файлы cookie определяют, какие сайты Вы посещали и как часто, какие ссылки Вы выбирали, что позволяет показывать Вам рекламные объявления, которые заинтересуют именно Вас.

Электронная почта. Мы также можем использовать технологии, позволяющие отслеживать, открывали ли вы, прочитали или переадресовывали определенные сообщения, отправленные нами на вашу электронную почту. Это необходимо, чтобы сделать наши средства коммуникации более полезными для пользователя. Если вы не желаете, чтобы мы получали сведения об этом, вам нужно аннулировать подписку посредством ссылки «Отписаться» («Unsubscribe»), находящейся внизу соответствующей электронной рассылки.

Сторонние веб-сервисы. Иногда на данном сайте мы используем сторонние веб-сервисы. Например, для отображения тех или иных элементов (изображения, видео, презентации и т. п.), организации опросов и т. п. Как и в случае с кнопками доступа к социальным сетям, мы не можем препятствовать сбору этими сайтами или внешними доменами информации о том, как вы используете содержание сайта.

Заключение

На этом уроке мы узнали о цилиндрической поверхности, видах цилиндра, элементах цилиндра и сходстве цилиндра с призмой.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/btela-vraweniya-b/ponyatie-tsilindra

https://www.youtube.com/watch?v=eLv-lSek-60

https://www.youtube.com/watch?v=P7_5qWj2BZM

http://dok.opredelim.com/docs/index-7319.html

http://mypresentation.ru/download/125438_ponyatie_cilindra__prezentaciya_po_geometrii

http://fs1.ppt4web.ru/uploads/ppt/95242/50208d20656afdeb627a755fe2f9813e.ppt

http://mateshka.ru/matematika/tela-vrasheniya.html

http://math4school.ru/tela_vrashhenija.html#spr1301

http://www.stendzakaz.ru/images/school/k-geom/k-geom-30.jpg

Содержание

Цилиндр

Основные понятия и свойства цилиндра:

Площадь поверхности и объем цилиндра

Составной цилиндр:

Поурочные разработки по Геометрии 11 класс

Цилиндр. Решение задач — урок 3 — КОНТРОЛЬНЫЕ И САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ

Что такое файл cookie и другие похожие технологии

Поурочные разработки по Геометрии 11 класс

Цилиндр. Решение задач — урок 3 — КОНТРОЛЬНЫЕ И САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ

Сечения цилиндра

Контрольная работа № 3«Тела вращения»

2. Контрольная работа

I уровень сложности

II уровень сложности

III уровень сложности

3. Рефлексия учебной деятельности (ОТВЕТЫ)

Ответы на задания III уровня сложности

Cookie файлы бывают различных типов:

Заключение

Похожие записи:

Похожие записи: