Цилиндр (стр. 1 из 3)

Что такое объем

Объем тела (геометрической фигуры) – это количественная характеристика, характеризующая количество пространства, занимаемого телом. Объем выражается в кубических единицах измерения, например: мм3, см3, мл3.

Формула вычисления объема цилиндра часто применяются при расчете массы различных цилиндров, например, прутков, заготовок и т.п. Для вычисления массы, необходимо вычисленный объем цилиндра умножить на плотность материала из которого цилиндр.

Так же, вычислить объём цилиндра иногда требуется для определения полости в виде цилиндра (цилиндрическая полость). В данном случае объём полости будет равен объёму цилиндра, который полностью занимает эту полость.

Объем и площадь других видов цилиндров рассмотрен в статьях:

Виды цилиндров

Самый простой и распространённый вид цилиндра — круговой. Его образуют два правильных круга, выступающих в роли оснований. Но вместо них могут быть и другие фигуры.

Основания цилиндров могут образовывать (кроме кругов) эллипсы, другие замкнутые фигуры. Но цилиндр может иметь не обязательно замкнутую форму. Например основанием цилиндра может служить парабола, гипербола, другая открытая функция. Такой цилиндр будет открытым или развернутым.

По углу наклона образующих к основаниям цилиндры могут быть прямыми или наклонными. У прямого цилиндра образующие строго перпендикулярны плоскости основания. Если данный угол отличается от 90°, цилиндр — наклонный.

1.1. Определение цилиндра

Рассмотрим какую-либо линию (кривую, ломаную или смешанную) l, лежащую в некоторой плокости α, и некоторую прямую S, пересекающую эту плоскость. Через все точки данной линии l проведем прямые, параллельные прямой S; образованная этими прямыми поверхность α называется цилиндрической поверхностью. Линия l называется направляющей этой поверхности, прямые s₁ , s₂ , s₃ ,… − ее образующими.

Если направляющая является ломаной, то такая цилиндрическая поверхность состоит из ряда плоских полос, заключенных между парами параллельных прямых, и называется призматической поверхностью. Образующие, проходящие через вершины направляющей ломаной, называются ребрами призматической поверхности, плоские полосы между ними − ее гранями.

Если рассечь любую цилиндрическую поверхность произвольной плоскостью, не параллельной ее образующим, то получим линию, которая также может быть принята за направляющую данной поверхности. Среди направляющих выделяется та, которая, получается, от сечения поверхности плоскостью, перпендикулярной образующим поверхности. Такое сечение называется нормальным сечением, а соответствующая направляющая − нормальной направляющей.

Если направляющая − замкнутая (выпуклая) линия (ломаная или кривая), то соответствующая поверхность называется замкнутой (выпуклой) призматической или цилиндрической поверхностью. Из цилиндрических поверхностей простейшая имеет своей нормальной направляющей окружность. Рассечем замкнутую выпуклую призматическую поверхность двумя плоскостями, параллельными между собой, но не параллельными образующим.

В сечениях получим выпуклые многоугольники. Теперь часть призматической поверхности, заключенная между плоскостями α и α’, и две образовавшиеся при этом многоугольные пластинки в этих плоскостях ограничивают тело, называемое призматическим телом − призмой.

Цилиндрическое тело − цилиндр определяется аналогично призме: Цилиндром называется тело, ограниченное с боков замкнутой (выпуклой) цилиндрической поверхностью, а с торцов двумя плоскими параллельными основаниями. Оба основания цилиндра равны, также равны между собой и все образующие цилиндра, т.е. отрезки образующих цилиндрической поверхности между плоскостями оснований.

Цилиндром (точнее, круговым цилиндром) называется геометрическое тело, которое состоит из двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов (рис. 1).

Рис. 1 − Цилиндр

Круги называются основаниями цилиндра, а отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей кругов, − образующими цилиндра.

Так как параллельный перенос есть движение, то основания цилиндра равны.

Так как при параллельном переносе плоскость переходит в параллельную плоскость (или в себя), то у цилиндра основания лежат в параллельных плоскостях.

Так как при параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние, то у цилиндра образующие параллельны и равны.

Поверхность цилиндра состоит из оснований и боковой поверхности. Боковая поверхность составлена из образующих.

Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований.

Прямой цилиндр наглядно можно представить себе как геометрическое тело, которое описывает прямоугольник при вращении его около стороны как оси (рис. 2).

Рис. 2 − Прямой цилиндр

В дальнейшем мы будем рассматривать только прямой цилиндр, называя его для краткости просто цилиндром.

Радиусом цилиндра называется радиус его основания. Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями его оснований. Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований. Она параллельна образующим.

Цилиндр называется равносторонним, если его высота равна диаметру основания.

Если основания цилиндра плоские (и, следовательно, содержащие их плоскости параллельны), то цилиндр называют стоящим на плоскости. Если основания стоящего на плоскости цилиндра перпендикулярны образующей, то цилиндр называется прямым.

В частности, если основание стоящего на плоскости цилиндра − круг, то говорят о круговом (круглом) цилиндре; если эллипс − то эллиптическом.

7.3. Цилиндрическая поверхность

Цилиндрическая поверхность образуется движением прямой линии, которая в любом своём положении параллельна данному направлению и пересекает криволинейную направляющую (Рисунок 7.6).

Цилиндр – геометрическое тело, ограниченное замкнутой цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими все образующие данной поверхности.

Взаимно параллельные плоские фигуры, ограниченные цилиндрической поверхностью, называются основаниями цилиндра.

Если нормальное сечение (плоскость сечения перпендикулярна образующим) имеет форму окружности, то цилиндрическая поверхность называется круговой.

Если образующие цилиндрической поверхности перпендикулярны к основаниям, то цилиндр называется прямым, в противном случае – наклонным.

Рассмотрим проецирование прямого кругового цилиндра  и принадлежащей ему точки F.

Условимся, что фронтальная проекция точки F – невидима (Рисунок 7.6).

Рисунок 7.6 – Проецирование цилиндра на плоскости проекций

Горизонтальная и профильная проекции точки F будут видимы.

При определении видимости, образующие, которые находятся на части, обращённой к наблюдателю и обозначенной на π₁ сплошной зелёной  линией – на плоскости проекции π₂ видны, а которые находятся на части, обозначенной толстой штриховой линией – видны на π₃.

Пусть точка А на π₂ видима (Рисунок 7.7). Тогда на π₁ она будет видима, а на π₃ невидима.

Рисунок 7.7 – Эпюр прямого кругового цилиндра и принадлежащих ему точек

Симметрия шара

Теорема. Центр шара является его центром симметрии, а любая диаметральная плоскость является его плоскостью симметрии.

Доказательство. Пусть α — диаметральна плосксоть шара, а Y его произвольная точка (Рис.6). Построим точку Y’, симметричную точке Y относительно плоскости α. Так как отрезок YY’ перпендикулярен плоскости α и делится этой плоскостью пополам точкой пересечения А, то треугольники OYA и OY’A равны по двум сторонам и углу между ними, т.е. OY=OY’. Отрезки OY и OY’ принадлежат шару, так как OY = OY’ ≤ R.

Отложим отрезок OY» симметрично относительно центра шара точки О. Тогда OY = OY» ≤ R. Т.е. точка Y» также принадлежит шару. Следовательно точка О является точкой симметрии шара, а диаметральная плоскость — плоскостью симметрии.

7. Пример 1

Радиус основания цилиндра 2 м, высота 3 м. Найдите диагональ осевого сечения.

Пусть дан цилиндр высотой 3 м и радиусом 2 м (Рис.7). По теореме Пифагора найдем АС:

AС 2 = AD 2 + CD 2 = 4 2 + 3 2 = 25

Рис.7 Задача. Радиус основания цилиндра 2 м.

Пример 2

Высота цилиндра 6 м, радиус основания 5 м. Концы отрезка DC’, длина которого 10 м, лежат на окружностях оснований. Найдите расстояние от этого отрезка до оси цилиндра.

Пусть дан цилиндр высотой 6 м с радиусом основания 5 м и отрезком DC’ = 10 м (Рис. 8). Проведем два перпендикуляра C’C и D’D. Так как эти перпендикуляры параллельны, то проведем через них плоскость α. Теперь проведем плоскость β через ось O’O, параллельную плоскости α.

Таким образом, получается, что через две скрещивающиеся прямые OO’ и DC’ проходят две параллельные плоскости α и β. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между двумя параллельными плоскостями, в которых эти прямые лежат.

Отсюда следует, что длина перпендикуляра ОЕ и будет расстояние от отрезка DC’ до оси цилиндра OO’.

Найдем хорду DC из прямоугольного треугольника DC’C:

DC 2 = 10 2 — 6 2 = 64, DC = 8 м.

Теперь из прямоугольного треугольника OED найдем ОЕ:

ОЕ 2 = OD 2 — DE 2 = 5 2 — 4 2 = 9

Рис.8 Задача. Высота цилиндра 6 м.

Пример 3

Высота конуса 20 м, радиус основания 25 м. Найдите площадь сечения, проведенного через вершину, если расстояние от него до центра основания конуса равно 12 м.

Пусть дан конус высотой 20 м с радиусом основания 25 м. OF = 12 м (Рис. 9). Найдем синус угла OSF из прямоугольного треугольника OSF.

sin OSF = OF / SO = 12 / 20 = 3/5, следовательно, cos OSF = 4/5

Из прямоугольного треугольника OSC найдем SC:

cos OSC = SO / SC, SC = SO / cos OSC = 20/4/5 = 25 м

По теореме Пифагора найдем ОС:

ОC 2 = SC 2 — SO 2 = 25 2 — 20 2 = 225, OC = 15 м.

Из прямоугольного треугольника АОС найдем АC:

АC 2 = АО 2 — ОС 2 = 25 2 — 15 2 = 400, АC = 20 м.

Таким образм, площадь сечения равна:

S_ASB = AC * SC = 20 * 25 = 500 м 2 .

Рис.9 Задача. Высота конуса 20 м.

Пример 4

Высота конуса 10 м. Радиус основания 6 м. На каком расстоянии от вершины необходимо провести плоскость, параллельную основанию, чтобы площадь сечения была равна половине площади основания.

Пусть дан конус высотой 10 м и радиусом основания 6 м (Рис. 10). Обозначим площадь основания как S_б, а площадь сечения как S_м. Найдем площадь большего основания S_б:

S_б = π R 2 = π 6 2 = 36π м 2

Соответственно площадь малого основания S_м будет равна:

S_м = S_б / 2 = 36π / 2 = 18π м 2

Отсюда, радиус сечения СА равен

Рассмотрим треугольники BOS и CAS. Они подобны. Коэффициент подобия составляет k = CA / BO = / 6

Отсюда следует, что SA = k SO = 10

Таким образом, для того чтобы площадь сечения составляла половину площади основания, расстояние от вершины конуса до плоскости сечения должно составлять 5 м.

Рис.10 Задача. Высота конуса 10 м.

Пример 5

Радиусы оснований усеченного конуса 4 м и 12 м, образующая 10 м. Найдите площадь осевого сечения.

Пусть дан усеченный конус. Образующая АС = 10 м и радиусы оснований СЕ = 4 м, АО = 12 м (Рис. 11). Осевое сечение усеченного конуса представляет собой равнобокую трапецию. Отсюда следует, что площадь сечения можно найти как сумму площадей прямоугольника CFTP и двух равных треугольников АСР и TFB.

Найдем площадь двух треугольников АСР и TFB:

По теореме Пифагора найдем СР:

СР 2 = AC 2 — AР 2 = 10 2 — 8 2 = 36, CP = 6 м

S_ACP + S_TFP = 2 S_ACP = 2 * АР * СР / 2 = 2 * 8 * 6 / 2 = 48 м 2

Теперь найдем площадь прямоугольника S_CFTP:

S_CFTP = CF * CP = 2 CE * CP = 2 * 4 * 6 = 48 м 2

Таким образом, площадь сечения усеченного конуса составляет:

S_АCFВ = S_CFTP + 2 S_ACP = 48 + 48 = 96 м 2 .

Рис.11 Задача. Радиусы оснований усеченного конуса 4 м и 12 м.

Геометрические характеристики скошенного цилиндра

Наклон одной из плоскостей скошенного цилиндра слегка изменяет порядок расчёта как площади поверхности такой фигуры, так и ее объёма.

В сети начнем новую тему, а когда приеду проведем зачет и контрольную работу по теме «Движение и вектора».

• Мы начинаем знакомство с новым классом
  геометрических тел – тела вращения. Первый представитель этого класса, с
  которым мы знакомимся – это цилиндр.
• Почему цилиндр
  называют телом вращения?

Цилиндр, получается в
результате вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон.

• Цилиндр состоит из
  двух кругов и множества отрезков.

• Цилиндр

  – это геометрическое
  тело, состоящее из двух равных кругов, расположенных в параллельных
  плоскостях и множества отрезков, соединяющих соответственные точки этих
  кругов.

• Определения элементов цилиндра
  :

Основания цилиндра
– равные круги, расположенные
в параллельных плоскостях

Высота цилиндра

— это расстояние между
плоскостями его оснований.

Ось цилиндра

– это прямая, проходящая через центры основания цилиндра (ось цилиндра является
осью вращения цилиндра).

Осевое сечение цилиндра
– сечение цилиндра
плоскостью, проходящей через ось цилиндра (осевое сечение цилиндра является
плоскостью симметрии цилиндра). Все осевые сечения цилиндра – равные прямоугольники

Образующая цилиндра
— это отрезок
соединяющий точку окружности верхнего основания с соответственной точкой
окружности нижнего основания. Все образующие параллельны оси вращения и имеют одинаковую длину,
равную высоте цилиндра.

Образующая цилиндра при
вращении вокруг оси образует
боковую (цилиндрическую) поверхность цилиндра
.

Радиус цилиндра

– это радиус его основания.

Прямой цилиндр

–
это цилиндр, образующие которого перпендикулярны основанию.

Равновеликий цилиндр

– цилиндр, у которого высота равна диаметру (показать равновеликий цилиндр: кнопкой со значком руки
перевести модель обратно в интерактивный режим и изменить значение высоты и
радиуса у предложенной модели так, чтобы ).

Цилиндр (круговой цилиндр)
– тело, которое состоит их двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов.

Круги называются основаниями цилиндра

, а отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей кругов, — образующими цилиндра
. Эти отрезки образуют цилиндрическую поверхность, являющуюся боковой поверхностью цилиндра

.

Если основаниями цилиндра не являются круги, то цилиндр может быть эллиптическим. Обычно, такие виды цилиндра в элементарной геометрии не рассматриваются.

Альтернативное определение
.

Цилиндром называется геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя пересекающими ее параллельными плоскостями.

Полная поверхность
цилиндра состоит из оснований и боковой поверхности.

Цилиндр называется прямым
, если его образующие перпендикулярны к плоскости оснований.

Прямой цилиндр

Радиусом

цилиндра называется радиус его основания.

Высотой

цилиндра называется расстояние между плоскостями его оснований.

Осью

цилиндра называется прямая, проходящая через центры основания. Она параллельна образующим.

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, представляет собой прямоугольник. Две стороны его – образующие цилиндра, а две другие – параллельные хорды оснований. Осевое сечение цилиндра – это сечение плоскостью, проходящей через его ось.

Касательной плоскостью

Виды цилиндров

Самый простой и распространённый вид цилиндра — круговой. Его образуют два правильных круга, выступающих в роли оснований. Но вместо них могут быть и другие фигуры.

Основания цилиндров могут образовывать (кроме кругов) эллипсы, другие замкнутые фигуры. Но цилиндр может иметь не обязательно замкнутую форму. Например основанием цилиндра может служить парабола, гипербола, другая открытая функция. Такой цилиндр будет открытым или развернутым.

По углу наклона образующих к основаниям цилиндры могут быть прямыми или наклонными. У прямого цилиндра образующие строго перпендикулярны плоскости основания. Если данный угол отличается от 90°, цилиндр — наклонный.

Практические рекомендации

Если необходимо найти диаметр основания цилиндра, следует воспользоваться формулой, которая связывает диаметр с радиусом и общей площадью основания: D = 2r = √(4S/π).

Для начала необходимо измерить общую площадь основания цилиндра. Это можно сделать с помощью рулетки или линейки. Если же основание имеет необычную форму, то можно воспользоваться формулами, позволяющими вычислить площадь треугольника, прямоугольника или многоугольника.

Затем следует вычислить радиус основания, разделив площадь на π и извлекая из полученного числа квадратный корень. Наконец, умножив радиус на 2, можно найти диаметр основания цилиндра.

Важно помнить, что все измерения должны быть проведены с высокой точностью, чтобы избежать ошибок в расчетах.
Если основание цилиндра имеет сложную форму, можно разбить его на более простые геометрические фигуры и вычислить площадь каждой из них отдельно.
Проверить правильность результатов можно, сравнив диаметр, найденный по формуле, с фактическим диаметром, полученным путем измерений.

Если возникают трудности в вычислении диаметра, можно воспользоваться онлайн калькулятором, который самостоятельно выполнит все необходимые расчеты и выведет результат на экран.

Вопрос-ответ

Вопрос: Как найти диаметр основания цилиндра, если известен объем?

Ответ: Для вычисления диаметра необходимо использовать формулу диаметра основания цилиндра по объему: d = 2 * √(V/πh), где d — диаметр, V — объем, h — высота цилиндра. Подставляем известные значения и получаем диаметр.

Вопрос: Как найти диаметр основания цилиндра, если известны его объем и высота?

Ответ: Для вычисления диаметра необходимо использовать формулу диаметра основания цилиндра по объему: d = 2 * √(V/πh), где d — диаметр, V — объем, h — высота цилиндра. Подставляем известные значения и получаем диаметр.

Вопрос: Как найти диаметр основания цилиндра, если известна площадь его боковой поверхности?

Ответ: Для вычисления диаметра необходимо использовать формулу диаметра основания цилиндра по боковой поверхности: d = 2 * h * (S/2πh), где d — диаметр, S — площадь боковой поверхности, h — высота цилиндра. Подставляем известные значения и получаем диаметр.

Вопрос: Как найти диаметр основания цилиндра, если известны его объем и радиус?

Ответ: Для вычисления диаметра необходимо использовать формулу диаметра основания цилиндра по радиусу и объему: d = 2 * (√(4V/π) — r), где d — диаметр, V — объем, r — радиус основания цилиндра. Подставляем известные значения и получаем диаметр.

Вопрос: Как найти диаметр основания цилиндра, если известны его площадь основания и высота?

Ответ: Для вычисления диаметра необходимо использовать формулу диаметра основания цилиндра по площади основания и высоте: d = √(4S/πh), где d — диаметр, S — площадь основания, h — высота цилиндра. Подставляем известные значения и получаем диаметр.

Главная — Онлайн — Новичкам в математике: как определить диаметр основания цилиндра без напряжения

Комментарии

JohnSmith

5.0 out of 5.0 stars5.0

Спасибо за быструю и понятную инструкцию! Теперь знаю, как найти диаметр основания цилиндра.

ChristopherDavis
5.0 out of 5.0 stars5.0

NikitaM
5.0 out of 5.0 stars5.0

Статья очень помогла, нашел ответ за 2 минуты. Спасибо!

Алексей
5.0 out of 5.0 stars5.0

Я всегда думал, что поиск диаметра основания цилиндра — это что-то сложно и запутанное. Но после того, как прочитал эту статью, мне стало все ясно. Спасибо за простую и доступную инструкцию. Теперь я смогу самостоятельно решить подобные задачи без проблем.

MichaelWilliams
5.0 out of 5.0 stars5.0

Сергей
5.0 out of 5.0 stars5.0

Я всегда считал, что математика — это не мое. И тем более, когда речь заходит об определении диаметра основания цилиндра — мне казалось, что это что-то сложное и запутанное. Тем не менее, после того, как я прочитал эту статью, я стал на много увереннее в своих способностях.

Рассмотренная в статье формула для расчета диаметра основания цилиндра оказалась настолько простой и понятной, что даже я в силах был ее освоить

Теперь я понимаю, что безумно важно не бояться новых задач и пробовать решать их самостоятельно

Спасибо авторам за качественный и доступный материал. Я считаю, что статьи такого формата помогают многим людям развиваться и учиться новому.

Типы цилиндров

• Прямым называется цилиндр, основания которого имеют центры симметрии (например, являются кругами или эллипсами), прямая между которыми перпендикулярна плоскостям этих оснований. Данная прямая называется осью цилиндра.
• Косым называется цилиндр, основания которого имеют центры симметрии (например, являются кругами или эллипсами), отрезок между которыми не перпендикулярен плоскостям этих оснований.
• Круговым называется цилиндр с окружностью в роли направляющей.
• Цилиндром вращения, или прямым круговым цилиндром (часто под цилиндром подразумевают именно его) называется цилиндр, который можно получить вращением (то есть тело вращения) прямоугольника вокруг одной из его сторон, содержащая которую прямая в таком случае будет осью этого цилиндра и его осью симметрии.
• Цилиндр, основания которого являются эллипсами, параболами или гиперболами, называют соответственно эллиптическим, параболическим и гиперболическим; последние два имеют бесконечный объём.
• Призма также является разновидностью цилиндра — с основанием в виде многоугольника.
• Равносторонним называется цилиндр вращения, диаметр основания которого равен его высоте.

Сечения (сечение плоскостью)

Результат пересечения цилиндров

Что такое файл cookie и другие похожие технологии

Файл cookie представляет собой небольшой текстовый файл, сохраняемый на вашем компьютере, смартфоне или другом устройстве, которое Вы используете для посещения интернет-сайтов.

Некоторые посещаемые Вами страницы могут также собирать информацию, используя пиксельные тэги и веб-маяки, представляющие собой электронные изображения, называемые одно-пиксельными (1×1) или пустыми GIF-изображениями.

Файлы cookie могут размещаться на вашем устройстве нами («собственные» файлы cookie) или другими операторами (файлы cookie «третьих лиц»).

Мы используем два вида файлов cookie на сайте: «cookie сессии» и «постоянные cookie». Cookie сессии — это временные файлы, которые остаются на устройстве пока вы не покинете сайт. Постоянные cookie остаются на устройстве в течение длительного времени или пока вы вручную не удалите их (как долго cookie останется на вашем устройстве будет зависеть от продолжительности или «времени жизни» конкретного файла и настройки вашего браузера).

Презентация на тему: » Слайды к теме. Концы отрезка АВ, равного а, лежат на окружностях основания цилиндра. Радиус цилиндра равен r, высота h, расстояние между прямой АВ и осью.» — Транскрипт:

1

Слайды к теме

2

Концы отрезка АВ, равного а, лежат на окружностях основания цилиндра. Радиус цилиндра равен r, высота h, расстояние между прямой АВ и осью ОО 1 цилиндра равно d. 1.Объясните, как построить отрезок, длина которого равна расстоянию между скрещивающимися прямыми АВ и ОО 1 А В О О1О1 ah r C K d 2. Составьте план нахождения величины d по заданным величинам a, h, r. План: 1) из АВС найти АС, затем АК 2) из АКО найти d 3. Составьте план нахождения величины h по заданным величинам a, d, r. План: 1) из АKO найти АK, затем АC 2) из АBC найти BC = h Задача 1.

3

Задача 2. Плоскость γ, параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу AmD с градусной мерой α. Высота цилиндра равна h, расстояние между осью цилиндра и секущей плоскостью равна d. γ D В А С O m α K h 1.Докажите, что сечение цилиндра плоскостью γ есть прямоугольник. 2. Объясните, как построить отрезок, длина которого равна расстоянию между осью цилиндра и секущей плоскостью 3. Найдите AD, если АО = 10 см, α = 60 (или α = 90, α = 120) 4. Составьте и объясните план вычисления площади сечения по данным α, d, h

4

Задача 3. Высота конуса равна h. Через образующие МА и МВ проведена плоскость, составляющая угол α с плоскостью основания конуса. Хорда АВ стягивает дугу с градусной мерой β. h С α В А М 1.Докажите, что сечение конуса плоскостью МАВ – равнобедренный треугольник. 2. Объясните, как построить линейный угол двугранного угла, образованного секущей плоскостью и плоскостью основания конуса. 3. Найдите МС. 4. Составьте и объясните план вычисления длины хорды АВ и площади сечения МАВ. β 5. Покажите на рисунке, как можно провести перпендикуляр из точки О к плоскости сечения МАВ (обоснуйте построение) О

5

Задача 4. Вершины треугольника АВС лежат на сфере, радиус которой равен 13. Найти расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если АВ = 6, ВС = 8, АС = 10. С В А К О Схема решения ОК α, К – центр круга, АК = КС = 5 Приведите полное обоснование решения

6

Задача 5. Через точку М сферы радиуса R проведены две плоскости, одна из которых является касательной к сфере, а другая наклонена под углом φ к касательной плоскости. B R С О А М φ 1.Объясните, как построить линейный угол двугранного угла, образованного данными плоскостями 2. Докажите, что перпендикуляр, проведенный из центра шара к секущей плоскости, проходит через центр сечения 3. Найдите радиус сечения шара второй плоскостью. 4. Найдите площадь сечения.

7

Задача 6. У сеченный конус получен от вращения прямоугольной трапеции вокруг боковой стороны, перпендикулярной основаниям, Найдите площадь боковой поверхности усеченного конуса, если известны основания и боковая сторона трапеции.

8

Задача 7. Н айдите площадь осевого сечения, если известны радиус нижнего основания, высота и образующая. 36

9

Задача 8. Радиус меньшего основания усеченного конуса равен 5, высота равна 6, а расстояние от центра меньшего основания до окружности большего основания равно 10. Найдите площадь боковых поверхностей усеченного и полного конусов.

10

Д строим усеченный конус до полного и проведем осевое сечение. Решение:

11

1) Вычислим радиус большего основания.

12

2) Найдем боковую сторону трапеции – образующую усеченного конуса.

13

3 ) Используя подобие треугольников, найдем образующую полного конуса. ~

14

4) Подставим найденные значения в формулы для площадей боковой поверхности полного и усеченного конусов.

Слайд 6Вклад Кавальери в математику.

В своем основном труде «Геометрия» (1635г.) Кавальери развил разработанный им задолго до выхода книги новый метод определения площадей и объемов – так называемый метод неделимых. Неделимыми Кавальери называл параллельные между собой хорды плоской фигуры или параллельные плоскости тела. Важнейший признак неделимости состоит в том, что число измерений его на единицу меньше самого геометрического образа. У плоской фигуры 2 измерения, у ее неделимого, т.е. у отрезка – 1 измерение. Кавальери доказал теорему о том, что площади двух подобных фигур относятся как квадраты, а объемы – как кубы соответствующих неделимых, и установил, что отношение суммы квадратов всех неделимых треугольника к сумме квадратов всех неделимых параллелограмма, имеющего с треугольником одинаковые основания и высоту, равно 1:3. Впоследствии Кавальери нашел аналогичные соотношения для суммы кубов и т.д. до девятой степени неделимых. Труды Кавальери сыграли огромную роль в формировании исчисления бесконечно малых.

Цилиндр

Цилиндр – тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами $М$ и $М_1$. Цилиндрическая поверхность называется боковой поверхностью цилиндра, а круги – основаниями цилиндра.

Образующие цилиндрической поверхности называются образующими цилиндра, на рисунке образующая  L.

Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны основаниям.

Осевое сечение цилиндра  — это прямоугольник, у которого одна сторона равна диаметру основания, а вторая – высоте цилиндра.

Основные понятия и свойства цилиндра:

1. Основания цилиндра равны и лежат в параллельных плоскостях.
2. Все образующие цилиндра параллельны и равны.
3. Радиусом цилиндра называется радиус его основания ($R$).
4. Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями оснований (в прямом цилиндре высота равна образующей).
5. Осью цилиндра называется отрезок, соединяющий центры оснований ($ОО_1$).
6. Если радиус или диаметр цилиндра увеличить в n раз, то объем цилиндра увеличится в $n^2$ раз.
7. Если высоту цилиндра увеличить в $m$ раз, то объем цилиндра увеличится в то же количество раз.
8. Если призму вписать в цилиндр, то ее основаниями будут являться равные многоугольники, вписанные в основание цилиндра, а боковые ребра — образующими цилиндра.
9. Если цилиндр вписан в призму, то ее основания — равные многоугольники, описанные около оснований цилиндра. Плоскости граней призмы касаются боковой поверхности цилиндра.

Пример:

Сосуд в форме цилиндра заполнен водой до отметки $40$ см. Найдите, на какой высоте будет находиться уровень воды, если её перелить в другой сосуд в форме цилиндра, радиус основания которого в $2$ раза больше радиуса основания первого цилиндра. Ответ дайте в сантиметрах.

Решение:

Так как из сосудов перелили одинаковый объем жидкости, следовательно, при равных объемах отличаются радиусы и  высоты уровней жидкостей.

$V_1=V_2$;

$R_2=2R_1$, так как у второго цилиндра радиус в два раза больше радиуса первого.

$h_1=40;h_2-?$

Распишем объемы занимаемой жидкости в обоих сосудах и приравняем формулы друг к другу.

$V_1=πR_1^2·h_1=πR_1^2·40$;

$V_2=πR_2^2·h_2=π(2R_1)^2·h_2=4πR_1^2·h_2$.

$πR_1^2·40=4πR_1^2·h_2$

Получили уравнение, которое можно разделить на $πR_1^2$

$40=4 h_2$

Чтобы найти $h_2$ надо сорок разделить на четыре

$h_2=10$

Ответ: $10$

Площадь поверхности  и объем цилиндра

Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту.

$S_{бок.пов.}=2πR·h$

Площадь поверхности цилиндра равна сумме  двух площадей оснований и площади боковой поверхности.

$S_{полн.пов.}=2πR^2+2πR·h=2πR(R+h)$

Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

$V= πR^2· h$

Объем части цилиндра, в основании которого лежит сектор: $V={πR^2·n°·h}/{360}$, где $n°$ — это градусная мера центрального угла, отсекающего заданный сектор.

Составной цилиндр:

Чтобы найти объем составного цилиндра надо:

1. Разделить составной цилиндр на несколько цилиндров или частей цилиндра.
2. Найти объем каждого цилиндра.
3. Сложить объемы.