ЦИЛИНДР
ВИДЕОУРОК
1. Радиус основания цилиндра равен 6 см, а диагональ
его осевого сечения образует с плоскостью основания угол60°. Найдите высоту
цилиндра.
а)16√͞͞͞͞͞3 см;
б)12√͞͞͞͞͞3 см;
в)1√͞͞͞͞͞3 см;
г)18√͞͞͞͞͞3 см.
2. Высота цилиндра равна8
см, радиус основания – 5
см. На расстоянии4 смот оси цилиндра параллельно ей проведено
сечение. Найдите площадь этого сечения.
а)45
см2;
б)42
см2;
в)52
см2;
г)48 см2.
3. Высота цилиндра равна8 см,
а диагональ его осевого сечения образует с плоскостью основания угол30°. Найдите радиус основания цилиндра.
а)4√͞͞͞͞͞3 см;
б)2√͞͞͞͞͞3 см;
в)8√͞͞͞͞͞3 см;
г)5√͞͞͞͞͞3 см.
4. В нижнем основании цилиндра проведена хорда длиной 8 см,
которая находится на расстоянии3
смот центра этого основания. Найдите площадь
осевого сечения цилиндра,
если его высота равна6 см.
а)64
см2;
б)58
см2;
в)60 см2;
г)48
см2.
5. Параллельно оси цилиндра провели плоскость, которая
отсекает от окружности дугуα. Диагональ полученного сечения наклонена к плоскости
основания под угломβ. Найдите площадь сечения, если радиус цилиндра
равенR.
6. Радиус основания цилиндра R.
Плоскость пересекает боковую поверхность цилиндра, но не пересекает основания и
образует угол α с плоскостью
основания. Найдите площадь сечения цилиндра этой плоскостью.
7. Через образующую цилиндра проведены две
взаимно перпендикулярные сечения цилиндра, площади которых равны 60 см2 и 80
см2. Найдите площадь осевого сечения.
а)100 см2;
б)120 см2;
в)80 см2;
г)105 см2.
8. Плоскость, параллельная оси цилиндра,
отсекает от окружности основания дугу120°.Найти площадь сечения, если высота равна10,
а расстояние от оси цилиндра до секущей плоскости равно√͞͞͞͞͞3.
а)68; б)72;
в)60; г)55.
9. Из квадрата, диагональ которого равна2√͞͞͞͞͞π , согнута
боковая поверхность цилиндра. Определите площадь основания цилиндра.
а)0,8; б)0,4;
в)0,56; г)0,5.
10. Плоскость,
параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу60°. Образующая цилиндра равна10√͞͞͞͞͞3, а расстояние
от оси до плоскости сечения – 2.
Найдите площадь сечения.
а)44; б)40;
в)46; г)45.
11. Отрезок,
который соединяет центр верхнего основания цилиндра с точкой окружности нижнего
основания, образует с плоскостью основания уголα.
Данный отрезок размещён на расстоянииdот центра нижнего
основания. Определите высоту цилиндра.
12. Осевое сечение
цилиндра – квадрат ABCD со стороною 2а.
Определите кратчайшее расстояние между точками
А и С по поверхности
цилиндра.
Задания к уроку 11
- Задание 1
- Задание 2
Основные определения и свойства цилиндра
Если из каждой точки окружности опустить перпендикуляр на плоскость β , то основания этих перпендикуляров образуют на плоскости β окружность радиуса r , центр O1 которой является основанием перпендикуляра, опущенного из точки O на плоскость β (рис.2).
Отрезок перпендикуляра, опущенного из любой точки окружности с центром O на плоскость β , который заключен между плоскостями α и β , называют образующей цилиндра .
Совокупность всех образующих цилиндра называют цилиндрической поверхностью .
Фигуру, ограниченную цилиндрической поверхностью и плоскостями α и β, называют цилиндром .
Отрезок OO1 называют осью цилиндра .
Радиус окружности Радиус окружности на плоскости α с центром в точке O называют радиусом цилиндра .
Круги с центрами O и O1 на плоскостях α и β , называют основаниями цилиндра .
Замечание 1. Цилиндрическую поверхность часто называют боковой поверхностью цилиндра . Боковая поверхность цилиндра и основания цилиндра вместе составляют полную поверхность цилиндра .
Замечание 2. Каждая образующая цилиндра параллельна оси цилиндра, а длина каждой образующей цилиндра равна высоте цилиндра.
Замечание 3. Прямая OO1 является осью симметрии цилиндра, а середина отрезка OO1 является центром симметрии цилиндра.
Oo1 ось цилиндра aa1b1b осевое сечение цилиндра найти высоту цилиндра
Высота цилиндра равна 5, а радиус основания 10.
а) Докажите, что площадь боковой поверхности цилиндра равна площади его основания.
б) Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, проходящей параллельно оси цилиндра на расстоянии 6 от неё.
а) Вспомним, что площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле , где — радиус основания, — высота цилиндра. В данном случае , поэтому , откуда и следует требуемое.
б) Сечение цилиндра плоскостью, проходящей параллельно его оси OO1, — прямоугольник ABB1A1 (O и AB — соответственно центр и хорда нижнего основания цилиндра), AA1 = 5. Расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения равно высоте OH треугольника OAB. OA = OB = 10, OH = 6, откуда
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 2 |
| Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено, или при правильном ответе решение недостаточно обосновано. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | |
| Максимальный балл | 2 |
В условии сказано, что дан цилиндр: «Высота цилиндра. «, а в решении рассмотрен прямой цилиндр. Действительно, ответ такой же получится при решении задачи с наклонным цилиндром, но тем не менее, в сечении образуется параллелограмм, а не прямоугольник: прямая АА1 параллельна и равна прямой ВВ1, как образующие, которые параллельны, в свою очередь оси цилиндра — прямой ОО1. По признаку параллельности прямой и плоскости получаем, что ОО1 параллельна плоскости (АА1ВВ1). И уже нельзя говорить, что ОО1 является высотой, ведь цилиндр может быть и наклонным. Прямая ОО1 является осью цилиндра. А условная прямая О1М может являться высотой цилиндра (точка М может совпасть с точкой О, если цилиндр прямой). Она будет являться и высотой параллелограмма (это может быть и прямоугольник, который по определению также является параллелограммом).
Таким образом, ответ хотя и верный, но рассмотрено частное решение данной задачи. Либо составители допустили ошибку не указав, что дан прямой цилиндр (в 2018-ом же писали: «. образующая перпендикулярна плоскости основания»), либо решение данной задачи следует подправить.
В школьном курсе задачи о наклонных цилиндрах не рассматриваются.
Объем цилиндра. Площадь боковой поверхности цилиндра.Площадь полной поверхности цилиндра
Для цилиндра с r и h (рис. 5)
Рис.5
введем следующие обозначения
| V | объем цилиндра |
| Sбок | площадь |
| Sполн | площадь |
| Sосн | площадь |
Тогда справедливы следующие формулы для вычисления объема, площади :
Sосн = πr2,
V = Sоснh = πr2h,
Sбок= 2πrh,
Sполн = 2πr2 + 2πrh == 2π(r + h).
Замечание 7. Формула объема цилиндра V = πr2h может быть получена из
при помощи предельного перехода, когда число сторон правильной призмы n неограниченно возрастает. Однако доказательство этого факта выходит за рамки школьной программы.
На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.
Презентация по геометрии на тему «Цилиндр. Сечения цилиндра»
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Описание презентации по отдельным слайдам:
Пособие по геометрии для 11 класса Составила Учитель математики СШ №115 г. Донецка Корсун Людмила Николаевна
Цилиндром (круговым цилиндром) называется тело, состоящее из двух кругов, которые не лежат в одной плоскости, а совмещаются параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов.
Круги – основания цилиндра. Отрезки, соединяющие соответствующие точке окружностей кругов, — образующие. AB – образующая цилиндра. Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований. O1A – радиус основания цилиндра.
Свойства цилиндра Основания цилиндра равны и параллельны. Образующие цилиндра параллельны и равны. AA1=BB1 Высота цилиндра (расстояние между плоскостями оснований) равна образующей. Hцил. = AA1 = OO1
При вращении прямоугольника около его стороны как оси образуется цилиндр. AA1 O1O – прямоугольник. OO1 – ось образованного цилиндра.(OO1 || AA1) Rцил. = OA = O1A1
Площадь поверхности и объем цилиндра
Сечения цилиндра плоскостями. Осевое сечение цилиндра. AA1 B1B – осевое сечение (сечение, проходящее через ось цилиндра OO1) AA1 B1B – прямоугольник (если AA1 B1B – квадрат, то цилиндр называется равносторонним). AB = dосн. = 2R; AA1 = Hцил.
Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси. (ABC) || OO1; ABCD – прямоугольник; AB и CD – образующие цилиндра; AB = Hцил.
Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси Плоскость, параллельная плоскости основания цилиндра, пересекает его боковую поверхность по окружности основания. Rпер. = Rцил.
Международная дистанционная олимпиада Осень 2021
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Минтруд предложил проект по реабилитации детей-инвалидов
Школьников не планируют переводить на удаленку после каникул
В школе в Пермском крае произошла стрельба
Минобрнауки утвердило перечень олимпиад для школьников на 2021-2022 учебный год
Минобразования Кузбасса рекомендовало техникумам и школам уйти на каникулы до 7 ноября
В Москве стартует онлайн-чемпионат для школьников Soft Skills — 2035
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Сечения цилиндра
Определение 2. Сечением цилиндра называют пересечение цилиндра с плоскостью. Если сечение проходит через ось цилиндра, то такое сечение называют осевым сечением цилиндра (рис. 3).
На рисунке 3 изображено одно из осевых сечений цилиндра – прямоугольник AA1B1B .
Замечание 4. Каждое осевое сечение цилиндра с радиусом r и высотой h является прямоугольником со сторонами 2r и h .
Определение 3. Перпендикулярным сечением цилиндра называют сечение, перпендикулярное оси цилиндра (рис. 4).
Замечание 5. Любым перпендикулярным сечением цилиндра будет круг радиуса r .
Замечание 6. Более подробно случаи взаимного расположения цилиндра и плоскости рассматриваются в разделе нашего справочника «Взаимное расположение цилиндра и плоскости в пространстве».