Презентация, доклад решение задач егэ по темам цилиндр и конус

Задачи по стереометрии из ЕГЭ, связанные со сферой

Пример 9. Найдите радиус сферы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен и образующая равна

Осевое сечение описанной в задаче системы

Решение. тогда из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора находим

Ответ:

Задача для самостоятельного решения №9. Найдите диаметр сферы, описанной около прямоугольного параллелепипеда, ребра которого равны

Показать ответ
Ответ: 

Итак, подведем итог. Что нужно для успешного решения задач по стереометрии из ЕГЭ?

• знание основных формул для нахождения значений геометрических величин пространственных фигур;
• умение проводить дополнительные построение и доказательства верности этих построений;
• верно выполнять арифметические преобразования численных и буквенных выражений.

До экзамена осталось совсем мало времени и использовать его нужно максимально эффективно. К примеру, тренируйтесь в выполнении заданий, которые вызывают наибольшие затруднения. Помните, от того насколько хорошо вы сдадите выпускные экзамены в какой-то мере зависит ваша дальнейшая жизнь. Успехов вам!

Репетитор по математике на Тёплом Стане
Сергей Валерьевич

Сфера и шар

10. Сфера — это множество всех точек пространства, равноудаленных от данной точки, называемой центром сферы. Радиусом сферы называется отрезок, соединяющий центр сферы с точкой на сфере, или длина этого отрезка. Хордой сферы называется отрезок, соединяющий две точки на сфере. Диаметр сферы — это хорда, которая проходит через центр сферы. Диаметр сферы равен двум радиусам сферы.

11. Площадь сферы находится по формуле: \(S_{сф}=4πR^2\).

12. Шаром называется часть пространства, ограниченная сферой, вместе с самой сферой и ее центром. Данная сфера называется поверхностью шара.
Сечение шара с радиусом \(R\) плоскостью, проходящей через центр шара, называется большим кругом шара. Радиус, хорда, диаметр шара те же, что и его сферы.

13. Объем шара находится по формуле \(V_{шара}=\frac{4}{3} πR^2\).

Cookie файлы бывают различных типов:

Необходимые. Эти файлы нужны для обеспечения правильной работы сайта, использования его функций. Отключение использования таких файлов приведет к падению производительности сайта, невозможности использовать его компоненты и сервисы.

Файлы cookie, относящиеся к производительности, эффективности и аналитике. Данные файлы позволяют анализировать взаимодействие посетителей с сайтом, оптимизировать содержание сайта, измерять эффективность рекламных кампаний, предоставляя информацию о количестве посетителей сайта, времени его использования, возникающих ошибках.

Рекламные файлы cookie определяют, какие сайты Вы посещали и как часто, какие ссылки Вы выбирали, что позволяет показывать Вам рекламные объявления, которые заинтересуют именно Вас.

Электронная почта. Мы также можем использовать технологии, позволяющие отслеживать, открывали ли вы, прочитали или переадресовывали определенные сообщения, отправленные нами на вашу электронную почту. Это необходимо, чтобы сделать наши средства коммуникации более полезными для пользователя. Если вы не желаете, чтобы мы получали сведения об этом, вам нужно аннулировать подписку посредством ссылки «Отписаться» («Unsubscribe»), находящейся внизу соответствующей электронной рассылки.

Сторонние веб-сервисы. Иногда на данном сайте мы используем сторонние веб-сервисы. Например, для отображения тех или иных элементов (изображения, видео, презентации и т. п.), организации опросов и т. п. Как и в случае с кнопками доступа к социальным сетям, мы не можем препятствовать сбору этими сайтами или внешними доменами информации о том, как вы используете содержание сайта.

Пример №6

В течение 2016 года в населенном пункте проводилось измерение температуры воздуха. На диаграмме указана среднемесячная температура воздуха в градусах Цельсия.  Сколько месяцев в 2016 году среднемесячная температура в населенном пункте была выше 15 градусов?

Решение:

1) Число, соответствующее 15 градусам на вертикальной оси не отмечено.
Выясним, какому количеству делений соответствует 1 градус.
Определим цену деления 4/2=2. Т.е. одно деление соответствует двум градусам, значит, одному градусу соответствует половина деления. Точка, соответствующая 15 градусам находится на половину деления ниже 16.

2) От найденной точки проводим горизонтальную линию.

3) Определяем, сколько столбиков диаграммы оказались выше линии.

Ответ: 3.

Практика показывает, что большинство ошибок во втором задании вызвано попытками решить его устно. При подготовке такие задания действительно легко решаются. Но от волнения взгляд экзаменующегося легко перескакивает с одной строчки на другую. Задание расположено в самом начале билета, поэтому многие учащиеся не успевают успокоиться к моменту его решения. Поэтому все необходимые вспомогательные линии и точки нужно рисовать прямо на графиках в бланке заданий. На это не уйдет много времени, а вероятность ошибки снизится в несколько раз.

Цилиндр

Цилиндр – тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами $М$ и $М_1$. Цилиндрическая поверхность называется боковой поверхностью цилиндра, а круги – основаниями цилиндра.

Образующие цилиндрической поверхности называются образующими цилиндра, на рисунке образующая  L.

Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны основаниям.

Осевое сечение цилиндра  — это прямоугольник, у которого одна сторона равна диаметру основания, а вторая – высоте цилиндра.

Основные понятия и свойства цилиндра:

1. Основания цилиндра равны и лежат в параллельных плоскостях.
2. Все образующие цилиндра параллельны и равны.
3. Радиусом цилиндра называется радиус его основания ($R$).
4. Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями оснований (в прямом цилиндре высота равна образующей).
5. Осью цилиндра называется отрезок, соединяющий центры оснований ($ОО_1$).
6. Если радиус или диаметр цилиндра увеличить в n раз, то объем цилиндра увеличится в $n^2$ раз.
7. Если высоту цилиндра увеличить в $m$ раз, то объем цилиндра увеличится в то же количество раз.
8. Если призму вписать в цилиндр, то ее основаниями будут являться равные многоугольники, вписанные в основание цилиндра, а боковые ребра — образующими цилиндра.
9. Если цилиндр вписан в призму, то ее основания — равные многоугольники, описанные около оснований цилиндра. Плоскости граней призмы касаются боковой поверхности цилиндра.

Пример:

Сосуд в форме цилиндра заполнен водой до отметки $40$ см. Найдите, на какой высоте будет находиться уровень воды, если её перелить в другой сосуд в форме цилиндра, радиус основания которого в $2$ раза больше радиуса основания первого цилиндра. Ответ дайте в сантиметрах.

Решение:

Так как из сосудов перелили одинаковый объем жидкости, следовательно, при равных объемах отличаются радиусы и  высоты уровней жидкостей.

$V_1=V_2$;

$R_2=2R_1$, так как у второго цилиндра радиус в два раза больше радиуса первого.

$h_1=40;h_2-?$

Распишем объемы занимаемой жидкости в обоих сосудах и приравняем формулы друг к другу.

$V_1=πR_1^2·h_1=πR_1^2·40$;

$V_2=πR_2^2·h_2=π(2R_1)^2·h_2=4πR_1^2·h_2$.

$πR_1^2·40=4πR_1^2·h_2$

Получили уравнение, которое можно разделить на $πR_1^2$

$40=4 h_2$

Чтобы найти $h_2$ надо сорок разделить на четыре

$h_2=10$

Ответ: $10$

Площадь поверхности  и объем цилиндра

Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту.

$S_{бок.пов.}=2πR·h$

Площадь поверхности цилиндра равна сумме  двух площадей оснований и площади боковой поверхности.

$S_{полн.пов.}=2πR^2+2πR·h=2πR(R+h)$

Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

$V= πR^2· h$

Объем части цилиндра, в основании которого лежит сектор: $V={πR^2·n°·h}/{360}$, где $n°$ — это градусная мера центрального угла, отсекающего заданный сектор.

Составной цилиндр:

Чтобы найти объем составного цилиндра надо:

1. Разделить составной цилиндр на несколько цилиндров или частей цилиндра.
2. Найти объем каждого цилиндра.
3. Сложить объемы.

Задачи по стереометрии из ЕГЭ, связанные с конусом

Пример 7. Диаметр основания конуса равен Образующая наклонена к плоскости основания под углом Найдите образующую конуса.

Рисунок к задаче

Решение. На рисунке треугольник  — равносторонний, поэтому искомая образующая равна 6.

Ответ:

Задача для самостоятельного решения №7. Образующая конуса равна и наклонена к плоскости основания под углом Найти радиус основания конуса.

Показать ответ
Ответ: 

Пример 8. Найдите угол между образующей и высотой конуса, если разверткой его боковой поверхности является сектор с дугой

Конус и развертка его боковой поверхности

Решение. Длина дуги сектора, образованного разверткой боковой поверхности конуса, равна с одной стороны а с другой — — длина окружности основания конуса. Откуда получаем, что Но это же отношение есть синус угла между образующей и высотой конуса. Итак, искомый угол есть

Ответ:

Задача для самостоятельного решения №8. Высота конуса равна а радиус основания равен Вычислите площадь полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды, вписанной в этот конус.

Показать ответ
Ответ: 

Задачи по стереометрии из ЕГЭ, связанные с пирамидой

Пример 3. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна Боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом Найдите боковое ребро пирамиды.

Чертеж к заданию

Решение.  Угол наклона бокового ребра к плоскости основания есть угол между этим боковым ребром и его проекцией на плоскость основания, то есть угол где — перпендикуляр из вершины на плоскость (высота пирамиды). Для прямоугольного треугольника имеем откуда

Задача для самостоятельного решения №3. Диагональ основания правильной четырехугольной пирамиды равна 6. Боковое ребро равно 5. Найдите высоту пирамиды.

Показать ответ
Ответ: 

Пример 4. В правильной четырехугольной пирамиде с вершиной сторона основания равна высота Найдите расстояние от вершины до плоскости боковой грани

Чертеж к задаче

Решение. лежит в плоскости в этой плоскости не лежит и параллельна следовательно, параллельна Ищем расстояние из точки (середины ), оно будет равно искомому расстоянию из точки что следует из доказанного выше.

Точка находится в центре основания поскольку пирамида правильная. То есть Из прямоугольного треугольника находим Площадь треугольника с одной стороны есть а с другой стороны Сравнивая полученные результаты, получаем, что

Ответ:

Задача для самостоятельного решения №4. В правильной четырехугольной пирамиде все ребра которой равны найдите расстояние между прямыми и

Показать ответ
Ответ: 

Архив записей

Архив записейВыберите месяц Ноябрь 2022  (1) Сентябрь 2022  (1) Январь 2022  (2) Сентябрь 2021  (1) Июль 2021  (1) Июнь 2021  (2) Май 2021  (1) Апрель 2021  (1) Март 2021  (1) Сентябрь 2020  (1) Август 2020  (2) Июль 2020  (2) Июнь 2020  (2) Декабрь 2019  (3) Ноябрь 2019  (4) Октябрь 2019  (3) Сентябрь 2019  (2) Май 2019  (1) Октябрь 2018  (1) Июнь 2018  (1) Апрель 2018  (1) Январь 2018  (1) Ноябрь 2017  (1) Октябрь 2017  (1) Сентябрь 2017  (2) Август 2017  (4) Июль 2017  (5) Июнь 2017  (4) Май 2017  (5) Апрель 2017  (2) Март 2017  (1) Февраль 2017  (1) Январь 2017  (3) Декабрь 2016  (1) Ноябрь 2016  (2) Октябрь 2016  (3) Сентябрь 2016  (4) Август 2016  (6) Июль 2016  (9) Июнь 2016  (4) Май 2016  (5) Апрель 2016  (6) Март 2016  (5) Февраль 2016  (8) Январь 2016  (8) Декабрь 2015  (9) Ноябрь 2015  (4) Июль 2015  (1) Март 2015  (1) Февраль 2015  (1) Январь 2015  (1) Июль 2014  (1) Июль 2013  (1) Март 2013  (2) Декабрь 2012  (1) Ноябрь 2012  (1) Сентябрь 2012  (3) Август 2012  (4) Июль 2012  (4) Июнь 2012  (4) Май 2012  (4) Апрель 2012  (5) Март 2012  (7) Февраль 2012  (8) Январь 2012  (7) Декабрь 2011  (5) Ноябрь 2011  (1)

Задачи по стереометрии из ЕГЭ, связанные c цилиндром

Пример 5. Радиус основания цилиндра равен Найдите диагональ осевого сечения цилиндра, если она наклонена к плоскости основания цилиндра под углом

Чертеж к задаче

Решение. Искомую диагональ ищем из прямоугольного треугольника По определению косинуса получаем: откуда находим

Ответ:

Задача для самостоятельного решения №5. Образующая цилиндра равна Диагональ осевого сечения наклонена к плоскости основания цилиндра под углом Найдите радиус основания цилиндра.

Показать ответ
Ответ: 

Пример 6. Найдите высоту и радиус цилиндра, имеющего наибольшую площадь боковой поверхности, если периметр осевого сечения цилиндра равен .

На рисунке r — радиус основания, l — образующая цилиндра

Решение. Из рисунка видно, что периметр осевого сечения цилиндра определяется по формуле: или, что тоже самое, Площадь осевого сечения равна с учетом получаем

Полученное выражение представляет собой квадратичную функцию от переменной . Наибольшее значение она принимает в вершине соответствующей параболы, то есть в точке При этом образующая цилиндра равна

Ответ: или

Задача для самостоятельного решения №6. Площадь боковой поверхности цилиндра равна площади круга, описанного около его осевого сечения. Найдите отношение радиуса цилиндра к его высоте.

Показать ответ
Ответ: 

Пример №1

На графике дана зависимость высоты тела над поверхностью земли от времени. По оси абсцисс отложено время в минутах, по оси ординат – высота в метрах. Определите высоту, на которой находилось тело через 7 минут после начала движения.

Решение:

1) На горизонтальной оси находим точку, соответствующую 7-ми минутам.

2) От найденной точки вверх проводим вертикальную прямую. Находим точку пересечения прямой с графиком.

3) Проводим горизонтальную прямую к оси ординат.

4) Находим точку пересечения прямой с осью ординат.

5) Полученная точка находится посередине между отметками 15м и 20м. Найдем ее значение (15+20):2=17,5

Ответ: 17,5.

Задачи по стереометрии из ЕГЭ, связанные с параллелепипедом

Пример 1. Найдите диагональ прямоугольного параллеле-пипеда, если она наклонена к его грани под углом а стороны этой грани равны и

Чертеж к заданию

Решение. Так как — параллелепипед, то а значит и любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и То есть треугольник — прямоугольный, гипотенузой в нем будет являться искомая диагональ

Из прямоугольного треугольника находим гипотенузу Для прямоугольного треугольника имеем то есть

Ответ: 10.

Задача для самостоятельного решения №1. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна и наклонена к плоскости его грани под углом Найдите ребро параллелепипеда, перпендикулярное плоскости этой грани.

Показать ответ
Ответ: 

Пример 2. Основанием прямого параллелепипеда является ромб , сторона которого равна а угол равен . Найдите расстояние от точки до прямой , если известно, что боковое ребро данного параллелепипеда равно

Рисунок к заданию с выноской

Решение. Искомое расстояние есть высота треугольника проведенная из вершины Ищем стороны данного треугольника. Ребро Из прямоугольного треугольника находим

Далее  Из теоремы косинусов для треугольника получаем, что откуда Из прямоугольного треугольника находим

Из теоремы косинусов для треугольника получаем, что откуда Тогда Площадь треугольника равна С другой стороны Следовательно,

Здесь мы воспользовались приемом сведения задачи по стереометрии из ЕГЭ к задаче по планиметрии. Как видите, в данном случае такой способ решения нельзя назвать наиболее рациональным. И все же он не лишен права на существование. Подробнее о решении планиметрических задач из ЕГЭ по математике читайте в статье «Решение задач C4».

Ответ: 10.

Задача для самостоятельного решения №2. Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник боковая сторона которого равна а угол равен Найдите расстояние от точки до прямой если известно, что боковое ребро данной призмы равно 12.

Показать ответ
Ответ: 

Пример №3

В помещении имеется кондиционер с датчиком температуры воздуха. Зависимость температуры воздуха в помещении с кондиционером от времени показана на графике. Температура указана в градусах Цельсия. Кондиционер включается, когда температура воздуха превышает максимально допустимое значение, и выключается, когда воздух охлаждается до необходимой температуры.  Определите по графику, сколько минут был отключен кондиционер.

Решение:

1) Когда кондиционер отключен, температура воздуха повышается. График возрастает.

2) Находим на графике возрастающий участок.

3) Из крайних точек этого отрезка проводим вертикальные прямые на горизонтальную ось и находим моменты включения (6 минут) и выключения (9 минут) кондиционера.

4) Находим время работы кондиционера: 9-6=3 минуты.

Ответ: 3.

Конус

В школе рассматривают не конус вообще, а только прямой круговой конус, называя его просто конусом. Поэтому вместо общего определения используем следующий факт:

Прямой круговой конус можно рассматривать как тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг его катета.

На рисунках изображен конус, полученный вращением закрашенного треугольника. Таким образом, ΔASO и ΔOSB — это, по существу, один и тот же треугольник в разных положениях при вращении вокруг оси SO. Катет SO является высотой конуса — h, второй катет (AO = OB) равен радиусу основания — r, длина гипотенузы (SA = SB) равна длине образующей — l. Такое определение конуса даёт нам сразу две подсказки, как перейти к планиметрии: — сечение плоскостью, проходящей через ось вращения, (обычно, это вертикальное сечение) позволяет свести задачу к рассмотрению прямоугольного или равнобедренного треугольника, — сечение плоскостью, перпендикулярной оси вращения, (обычно, это горизонтальное сечение) позволяет свести задачу к свойствам круга.

Ниже вы видите чертежи на плоскости вместе с формулами, которыми можно пользоваться в этом разделе. На синем рисунке представлены развёртка боковой поверхности конуса и его основание.

На красном рисунке — осевое сечение конуса со всеми обозначениями, которые могут понадобиться при решении следующих трёх задач.

Внимание:1) В решениях задач часто встречаются рисунки, дождитесь их полной загрузки. 2) Для усиления обучающего эффекта ответы и решения загружаются отдельно для каждой задачи последовательным нажатием кнопок на желтом фоне

(Когда задач много, кнопки могут появиться с задержкой. Если кнопок не видно совсем, проверьте, разрешен ли в вашем браузере JavaScript.)

Задача 1

Высота конуса равна 4, а диаметр основания — 6. Найдите образующую конуса.

Решение

1) Чертим треугольник SAO (выше есть готовый чертеж). 2) Делаем краткую запись задачи, соотнося всё с чертежом. Дано: SO = h = 4, AC = 2r = 6. Найти: SA = l = ?
3) Подставляем значения с чертежа в известные формулы: l 2 = r 2 + h 2; r = 6/2 = 3; l 2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25; l 2 = 25; l = 5.

Ответ: 5

Задача 2.

Высота конуса равна 4, а длина образующей — 5. Найдите диаметр основания конуса.

Решение

Порядок наших действий такой же, как в предыдущей задаче: чертеж, краткая запись, формулы. Только в конце неизвестная величина оказывается в правой части равенства, что несколько удлиняет вычисления.SO = h = 4, SA = l = 5, AC = 2r = ? l 2 = r 2 + h 2; 52 = r 2 + 42; 52 − 42 = r 2 или r 2 = 52 − 42 = 25 − 16 = 9; r 2 = 9; r = 3; AC = 2r = 2×3 = 6.

Ответ: 6

Задача 3

Диаметр основания конуса равен 6, а длина образующей — 5. Найдите высоту конуса.

Решение

См. пояснения к предыдущим задачам.AC = 2r = 6, SA = l = 5, SO = h = ? l 2 = r 2 + h 2; r = 6/2 = 3; 52 = 32 + h 2; 52 − 32 = h 2 или h 2 = 52 − 32 = 25 − 9 = 16; h 2 = 16; h = 4.

Ответ: 4

Пример №4

Крутящий момент двигателя зависит от числа оборотов. На графике по горизонтальной оси отложено число оборотов в минуту. По вертикальной – крутящий момент в Н*м. Какое минимальное число оборотов должен совершать двигатель, чтобы его крутящий момент составил 90Н*м?

Решение:

В этой задаче полезно определить цену деления по обеим осям. Для этого берем наименьшее отмеченное число и делим его на число делений до этого числа.

По оси абсцисс получаем 1000/4=250.
По оси ординат 20/2=10.

1) На оси ординат находим точку, соответствующую 90 Н*м. Это значение на оси не отмечено. Оно находится на одно деление выше точки 80.

2) От найденной точки проводим горизонтальную линию.

3) Линия пересекает график в двух точках.

4) Т.к. по условию задачи нужно определить наименьшее число оборотов, то выбираем левую точку.

5) Опускаем от нее вертикальную линию на ось ординат, находим точку пересечения.

6) Найденная точка расположена на три деления правее отметки 1000. Найдем ее значение, пользуясь известной ценой деления. 1000+3*250=1750.

Ответ: 1750.

Что такое файл cookie и другие похожие технологии

Файл cookie представляет собой небольшой текстовый файл, сохраняемый на вашем компьютере, смартфоне или другом устройстве, которое Вы используете для посещения интернет-сайтов.

Некоторые посещаемые Вами страницы могут также собирать информацию, используя пиксельные тэги и веб-маяки, представляющие собой электронные изображения, называемые одно-пиксельными (1×1) или пустыми GIF-изображениями.

Файлы cookie могут размещаться на вашем устройстве нами («собственные» файлы cookie) или другими операторами (файлы cookie «третьих лиц»).

Мы используем два вида файлов cookie на сайте: «cookie сессии» и «постоянные cookie». Cookie сессии — это временные файлы, которые остаются на устройстве пока вы не покинете сайт. Постоянные cookie остаются на устройстве в течение длительного времени или пока вы вручную не удалите их (как долго cookie останется на вашем устройстве будет зависеть от продолжительности или «времени жизни» конкретного файла и настройки вашего браузера).