Задача егэ по математике: стереометрия

Цилиндр

Определение 1

Цилиндром называется тело, образованное вращением прямоугольника вокруг его стороны.

Рисунок 1.

Рисунок 2.

Статья: Цилиндр, конус, шар

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Рисунок 3.

Если прямоугольник $OABO$. вращается вокруг оси $001$ (рис. 1), его стороны $OA$ и $O_2B$ описывают равные круги, лежащие в параллельных плоскостях. Эти круги называют основаниями, а их радиус — радиусом цилиндра. Сторона $AB$, параллельная оси цилиндра, описывает кривую поверхность, которую называют боковой поверхностью цилиндра. Каждый отрезок этой поверхности, равный $AB$, — образующая цилиндра. Все образующие одного цилиндра равны и параллельны друг другу, поскольку каждая из них равна вращающейся стороне прямоугольника, и параллельна оси цилиндра. Длина образующей — высота цилиндра; она равна расстоянию между плоскостями оснований.

Все осевые сечения цилиндра — равные прямоугольники (рис. 2). Их диагонали проходят через середину $G$ отрезка, который соединяет центры оснований цилиндра. Поэтому точка $G$ — центр симметрии цилиндра. Плоскость, проходящая через точку $G$ перпендикулярно к оси цилиндра, — плоскость его симметрии. Другие плоскости симметрии цилиндра проходят через его ось.

Каждая секущая плоскость, перпендикулярная к оси цилиндра, пересекает его по кругу, равному основанию (рис. 3). Ведь любая точка $C$ образующей $AB$ отдалена от оси $OO_2$ на расстояние $CO_2 = OA$. Плоскость, пересекающая все образующие цилиндра, но не перпендикулярная к ним, пересекает боковую поверхность цилиндра по эллипсу (рис. 4).

Плоскость, которая проходит через образующую цилиндра и не имеет с ним других общих точек, называется касательной плоскостью к цилиндру. Она перпендикулярна к осевому сечению цилиндра, проведенному через эту же образующую (рис. 5).

Рисунок 4.

Рисунок 5.

Объем цилиндра. Площадь боковой поверхности цилиндра.Площадь полной поверхности цилиндра

      Для цилиндра с   r   и   h   (рис. 5)

Рис.5

введем следующие обозначения

V	объем цилиндра
Sбок	площадь
Sполн	площадь
Sосн	площадь

      Тогда справедливы следующие формулы для вычисления объема, площади :

S_осн = πr2,

V = S_оснh = πr2h,

S_бок= 2πrh,

S_полн = 2πr2 + 2πrh == 2π(r + h).

      Замечание 7. Формула объема цилиндра   V = πr2h   может быть получена из

при помощи предельного перехода, когда число сторон правильной призмы n неограниченно возрастает. Однако доказательство этого факта выходит за рамки школьной программы.

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

Сечения цилиндра

      Определение 2. Сечением цилиндра называют пересечение цилиндра с плоскостью.      Если сечение проходит через то такое сечение называют осевым сечением цилиндра (рис. 3).

Рис.3

      На рисунке 3 изображено одно из осевых сечений цилиндра –   AA₁B₁B .

     Замечание 4. Каждое с   r и   h   является со сторонами   2r   и   h .

      Определение 3. Перпендикулярным сечением цилиндра называют , перпендикулярное (рис. 4).

Рис.4

      Замечание 5. Любым перпендикулярным сечением цилиндра будет круг радиуса   r .

      Замечание 6. Более подробно случаи взаимного расположения цилиндра и плоскости рассматриваются в разделе нашего справочника «Взаимное расположение цилиндра и плоскости в пространстве».

Понятие конуса

Построим на плос-ти α окруж-ть L с центром в точке О. Далее через О проведем перпендикуляр к α и отметим на нем точку Р. Если мы отрезками соединим точку Р с каждой точкой окруж-ти L, то получим поверх-ть, которая именуется конической поверхностью. При этом:

• прямая ОР – это ось конической поверх-ти;
• прямые, соединяющие Р с точками на окруж-ти L, именуются образующими конической поверх-ти;
• сама точка Р – это вершина конической поверх-ти.

Объемное тело, ограниченное окруж-тью L и конической поверх-тью, именуется конусом. Соответственно вершина конической поверх-ти, её ось и образующие будут одновременно являться вершиной, осью и образующими конуса. Окруж-ть L – это основание конуса.

Ещё несколько терминов:

• коническая поверх-ть конуса именуется его боковой поверх-тью;
• если же к этой площади прибавить ещё и площадь основания, то в итоге получится полная площадь конуса;
• отрезок ОР – это не только ось конуса, но и высота конуса.

Как и в случае с цилиндром, мы в данном случае рассматриваем особый случай конуса – прямой круговой конус. В более общем случае ось конуса может не быть перпендикуляром к плос-ти основания (так называемый косой конус). Также в его основании может находиться не окруж-ть, а другая плоская фигура.

В общем случае любая пирамида может рассматриваться как частный случай конуса. Однако в рамках школьного курса под конусом подразумевается исключительно прямой круговой конус, если только не обговорено иное.

Докажем важное утверждение:

Действительно, рассмотрим две произвольные образующие РА и РВ у конуса с вершиной Р, у которой О – центр основания:

Так как ось ОР перпендикулярна основанию, то ∆РОА и ∆РОВ – прямоугольные. У них общий катет РО, а катеты АО и ОВ одинаковы как радиусы окруж-ти. Тогда ∆РОА и ∆РОВ равны, поэтому одинаковы и образующие РА и РВ, ч. т. д.

Заметим, что конус получается при вращении прямоугольного треуг-ка вокруг его катета. Так, на следующем рисунке конус получается при вращении ∆РОА с прямым углом О относительно катета РО:

Если сечение конуса проходит через его ось, то оно именуется осевым сечением. Ясно, что это сечение будет являться треуг-ком, причем две его стороны – это образующие конуса, а третья сторона диаметр основания. Образующие конуса одинаковы, поэтому осевое сечение будет равнобедренным треуг-ком.

Теперь рассмотрим сечение, параллельное плос-ти основания. Пусть оно пересекает ось РО в какой-то точке О₁. Также пусть А₁ – точка пересечения образующей АР исходного конуса с секущей плос-тью α:

Заметим, что раз ось РО перпендикулярна основанию, то она также будет перпендикулярна и секущей плос-ти, ведь основание и плос-ть α параллельны. Тогда ∠РО₁А₁ будет прямым.

Теперь рассмотрим ∠РОА и ∠РО₁А₁. Они прямоугольные и у них есть общие угол ∠АРО. Значит, это подобные треуг-ки. Обозначим радиус ОА как r, а длину А₁О₁ как r₁. Тогда из подобия получаем:

Рассмотрим теперь другую образующую ВР, которая пересекает секущую плос-ть в точке В₁. Отрезки АО и ОВ одинаковы. Повторяя предыдущие рассуждения, легко доказать подобие ∆РОВ и ∆РО₁В₁, откуда можно вычислить длину О₁В₁:

Получили, что точки А₁и В₁ находятся на одинаковом расстоянии r₁ от точки О₁. Мы выбрали точки А и В произвольно, поэтому для любых двух точек, принадлежащих сечению конуса, можно утверждать, что они равноудалены от точки О₁. Это значит, что все точки сечения лежат на окруж-ти с центром в точке О₁ и радиусом r₁, то есть сечение имеет форму окруж-ти.

Как определить площадь боковой поверхности конуса? Для этого ее надо «разрезать» вдоль одной из образующих и развернуть на плос-ти. В результате получится круговой сектор.

Напомним, что площадь сектора может быть рассчитана по формуле

Теперь обозначим длину образующей буквой l, а радиус основания конуса как r. Тогда

Для вычисления полной площади конуса к боковой поверх-ти необходимо добавить ещё и площадь основания:

Определение объёма фигуры

Объем цилиндра определяется по стандартной схеме: площадь поверхности основания умножается на высоту.

Таким образом, конечная формула выглядит следующим образом: искомое определяется как произведение высоты тела на универсальное число П
и на квадрат радиуса основания.

Полученная формула, надо сказать, применима для решения самых неожиданных задач. Точно так же, как объем цилиндра, определяется, например, объём электропроводки. Это бывает необходимо для вычисления массы проводов.

Отличия в формуле только в том, что вместо радиуса одного цилиндра стоит делённый надвое диаметр жилы проводки и в выражении появляется число жил в проводе N
. Также вместо высоты используется длина провода. Таким образом рассчитывается объем «цилиндра» не одного, а по числу проводков в оплётке.

Такие расчёты часто требуются на практике. Ведь значительная часть ёмкостей для воды изготовлена в форме трубы. И вычислить объем цилиндра часто бывает нужно даже в домашнем хозяйстве.

Однако, как уже говорилось, форма цилиндра может быть разной. И в некоторых случаях требуется рассчитать, чему равен объем цилиндра наклонного.

Отличие в том, что площадь поверхности основания умножают не на длину образующей, как в случае с прямым цилиндром, а на расстояние между плоскостями — перпендикулярный отрезок, построенный между ними.

Как видно из рисунка, такой отрезок равен произведению длины образующей на синус угла наклона образующей к плоскости.

1.1. Определение цилиндра

Рассмотрим какую-либо линию (кривую, ломаную или смешанную) l, лежащую в некоторой плокости α, и некоторую прямую S, пересекающую эту плоскость. Через все точки данной линии l проведем прямые, параллельные прямой S; образованная этими прямыми поверхность α называется цилиндрической поверхностью. Линия l называется направляющей этой поверхности, прямые s 1
, s 2
, s 3
,… − ее образующими.

Если направляющая является ломаной, то такая цилиндрическая поверхность состоит из ряда плоских полос, заключенных между парами параллельных прямых, и называется призматической поверхностью. Образующие, проходящие через вершины направляющей ломаной, называются ребрами призматической поверхности, плоские полосы между ними − ее гранями.

Если рассечь любую цилиндрическую поверхность произвольной плоскостью, не параллельной ее образующим, то получим линию, которая также может быть принята за направляющую данной поверхности. Среди направляющих выделяется та, которая, получается, от сечения поверхности плоскостью, перпендикулярной образующим поверхности. Такое сечение называется нормальным сечением, а соответствующая направляющая − нормальной направляющей.

Если направляющая − замкнутая (выпуклая) линия (ломаная или кривая), то соответствующая поверхность называется замкнутой (выпуклой) призматической или цилиндрической поверхностью. Из цилиндрических поверхностей простейшая имеет своей нормальной направляющей окружность. Рассечем замкнутую выпуклую призматическую поверхность двумя плоскостями, параллельными между собой, но не параллельными образующим.

В сечениях получим выпуклые многоугольники. Теперь часть призматической поверхности, заключенная между плоскостями α и α», и две образовавшиеся при этом многоугольные пластинки в этих плоскостях ограничивают тело, называемое призматическим телом − призмой.

Цилиндрическое тело − цилиндр определяется аналогично призме: Цилиндром называется тело, ограниченное с боков замкнутой (выпуклой) цилиндрической поверхностью, а с торцов двумя плоскими параллельными основаниями. Оба основания цилиндра равны, также равны между собой и все образующие цилиндра, т.е. отрезки образующих цилиндрической поверхности между плоскостями оснований.

Цилиндром (точнее, круговым цилиндром) называется геометрическое тело, которое состоит из двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов (рис. 1).

Круги называются основаниями цилиндра, а отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей кругов, − образующими цилиндра.

Так как параллельный перенос есть движение, то основания цилиндра равны.

Так как при параллельном переносе плоскость переходит в параллельную плоскость (или в себя), то у цилиндра основания лежат в параллельных плоскостях.

Так как при параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние, то у цилиндра образующие параллельны и равны.

Поверхность цилиндра состоит из оснований и боковой поверхности. Боковая поверхность составлена из образующих.

Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований.

Прямой цилиндр наглядно можно представить себе как геометрическое тело, которое описывает прямоугольник при вращении его около стороны как оси (рис. 2).

Рис. 2 − Прямой цилиндр

В дальнейшем мы будем рассматривать только прямой цилиндр, называя его для краткости просто цилиндром.

Радиусом цилиндра называется радиус его основания. Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями его оснований. Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований. Она параллельна образующим.

Цилиндр называется равносторонним, если его высота равна диаметру основания.

Если основания цилиндра плоские (и, следовательно, содержащие их плоскости параллельны), то цилиндр называют стоящим на плоскости. Если основания стоящего на плоскости цилиндра перпендикулярны образующей, то цилиндр называется прямым.

В частности, если основание стоящего на плоскости цилиндра − круг, то говорят о круговом (круглом) цилиндре; если эллипс − то эллиптическом.

Какие примеры применения образующей цилиндра в повседневной жизни?

Строительство

В строительстве образующая цилиндра широко используется при создании различных конструкций, таких как столбы, колонны, трубы и даже дома. К примеру, при строительстве колонн используется образующая цилиндра для формирования цилиндрической формы бетонной колонны.

Медицина

Образующая цилиндра является ключевым элементом в создании различных медицинских инструментов, таких как шприцы, клипсы для кровеносных сосудов и т.д. Она также применяется при создании имплантатов и протезов для восстановления поврежденных костей и суставов.

Производство

Промышленное производство также использует образующую цилиндра для создания различных предметов, таких как пластиковые трубы, бутылки и контейнеры. Она также применяется в машиностроении, где используется для создания осей и валов двигателей и механизмов.

Художественная фигурка и скульптура

Художественная фигурка и скульптура может быть выполнена из множества различных материалов, но для создания цилиндрических форм используется образующая цилиндра. Она может быть использована для создания различных поверхностей и форм, таких как стеклянные вазы, бутыли и многое другое.

Кулинария

Образующая цилиндра может быть использована в кулинарии для создания цилиндрических блюд, таких как рулеты, тарты и суши. Она может быть использована для формирования различных слоев блюд и для декорирования.

Примеры задач

Рассмотрим пару задач на осевое сечение с решениями.

Задача 1

Дан круглый прямой цилиндр. Его осевое сечение является квадратом. Вопрос: чему равна S сечения, если площадь поверхности всего цилиндра — 100 см²?

Решение

Чтобы найти S квадрата, нужно сначала определить радиус или диаметр окружности цилиндра. Для этого вспомним формулу для нахождения площади самого цилиндра:

(Sц = 2pi * r * (r + h))

Так как осевое сечение — квадрат, значит радиус основания в два раза меньше высоты фигуры. В таком случае, формула будет выглядеть так:

(Sц = 2pi * r * (r + 2r) = 6 * pi * r²)

Исходя из этого, будем выражать радиус:

(r = √(Sц / (6*pi)))

Если сторона квадратного сечения равна диаметру основания цилиндра, то для определения площади квадрата S используем формулу:

(S = (2*r)2 = 4*r2 = 2*Sц/ (3*pi))

Подставим известные данные ((Sц = 100см^2)) и получим площадь сечения (S = 21,23 см²).

Ответ: (S = 21,23 см²).

Задача 2

Дано: ABCD — осевое сечение цилиндра. Площадь сечения (Sc) равна (10 м²), а площадь основания (Sо— 5 м²). Найти высоту цилиндра.

Решение

Так как площадь основания — круг, то (Sо = pi * r²). Тогда (r = √(Sо/pi) = √(5/pi).)

Так как площадь сечения— прямоугольник, то (Sc = AB * BC = h * 2r.) Тогда (h = Sc/(2r) = 10/(2√(5/pi)) = 5√(pi/5) = √(5pi).)

Как найти высоту цилиндра

Рассмотрим варианты нахождения высоты фигуры, а также длины ее образующей (которая равна этой высоте).

Первым делом взглянем на формулу: \(V=\pi R^2\times H\), где V — объем цилиндра, R — радиус основания, H — высота фигуры.

Через эту формулу можем выразить высоту:

\(H=\frac V{\pi R^2}\)

Таким образом мы можем узнать H данного геометрического тела, если нам известен его объем и радиус. Если же вместо радиуса мы знаем диаметр, формула расчета будет выглядеть так:

\(H=\frac{4V}{D^2}\)

В случае, когда нам известен диаметр и площадь фигуры, мы так же можем найти высоту

Следует обратить внимание, что в зависимости от того, будет ли известна площадь боковой или полной поверхности, формула будет меняться

Для расчета S боковой поверхности (часть, ограниченная цилиндрической поверхностью) цилиндра мы используем формулу:

\(S=2\pi RH\)

выражаем H и получаем:

\(H=\frac S{2\pi R}\)

Если известна S полной поверхности (включает в себя площадь оснований фигуры), используем формулу:

\(S=2\pi R(H+R)=2\pi R\times H+2\pi R^2\)

выражаем H и получаем:

\(H=\frac{S-2\pi R^2}{2\pi R}\)

Для третьего способа нужно будет провести прямоугольное сечение, ширина которого должна будет совпадать с диаметрами оснований, а длина — с образующими цилиндра.

Таким образом, получается прямоугольный треугольник САВ. А так как высота равна образующей, мы можем вычислить ее по теореме Пифагора:

\(СВ^2=АС^2-АВ^2\)

\(H=СВ=\sqrt{АС^2-АВ^2}\)